Nacque a Roma il 3 aprile 1916 da Corradino e da Elvira Natalini. Si laureò in scienze politiche e sociali nell'aprile del 1947 presso l'Università di Roma. Volontario nel III Reggimento Granatieri (1935) con la ferma di due anni, Pirrami Traversari venne trasferito al XXIII Reggimento Artiglieria Trieste e collocato in congedo illimitato per fine della ferma con il grado di caporal maggiore. Fu richiamato alle armi nel 1940, dopo l'Armistizio dismise la divisa di soldato regolare e dal dicembre del 1943 al luglio del 1944 partecipò alla lotta partigiana. Sposò Fulvia Duce l'8 dicembre 1948 dalla quale ebbe due figlie.
Nel periodo che va dal luglio del 1946 al maggio del 1947 Pirrami Traversari prestò la propria opera presso il Ministero dell'assistenza post-bellica, nello specifico a partire dal 26 luglio 1946 al 23 marzo 1947 fu segretario particolare del sottosegretario Giovanni Carignani. Dal 23 maggio del 1948 al 14 gennaio del 1950 e dal 27 gennaio del 1950 al 19 luglio del 1951 fu in forza invece presso il Ministero dell'agricoltura e delle foreste, ove dal 1 giugno 1948 al 25 luglio 1951 fu segretario particolare del sottosegretario di Stato Emilio Colombo. Pirrami Traversari passò poi al Ministero del bilancio e della programmazione economica, vi rimase dal 26 luglio 1951 al 7 luglio 1953 e dal 26 luglio 1953 all'8 agosto 1953; nel periodo compreso fra il 28 luglio 1951 e il 15 luglio 1953 fu segretario particolare del sottosegretario di Stato al Bilancio Tommaso Zerbi. Dal 1 luglio del 1958 al 15 febbraio 1959 e dal 26 luglio 1960 al 31 dicembre 1960 fu segretario particolare del presidente del Consiglio dei ministri.
Il 31 del gennaio 1961 Pirrami Traversari entrò a far parte del ruolo del personale della Corte dei conti in qualità di consigliere; alla fine di quello stesso anno fu arruolato anche nel corpo militare della Croce Rossa Italiana. Nel corso del luglio del 1966 egli entrò a far parte della delegazione che seguì il ministro Fanfani inviato ad Ankara con il compito di intrattenere colloqui di carattere politico ed economico col Governo turco. Nel luglio del 1968 dietro richiesta dell'allora presidente Fanfani, Pirrami Traversari fu chiamato a prestare la propria opera presso gli uffici del Senato della Repubblica fermo restando «l'obbligo di attendere al regolare adempimento delle sue funzioni di consigliere della Corte». Fu promosso presidente di Sezione della Corte il 25 settembre 1970, nel corso del 1975 ebbe la presidenza della Delegazione all'assegnazione dei ricorsi per le pensioni di guerra; quasi contemporaneamente fu preposto alla I Sezione speciale giurisdizionale per le pensioni di guerra e poco dopo preposto alla IV Sezione speciale giurisdizionale per le pensioni di guerra mantenendo comunque l'incarico di presidente delegato all'assegnazione dei ricorsi. Nel luglio del 1978 fu infine assegnato alla I Sezione giurisdizionale per le materie di contabilità pubblica. Il momento più alto della carriera di Pirrami Traversari giunse probabilmente con la nomina a Presidente della Corte dei conti, il 5 maggio 1981. Esteso e particolarmente articolato fu il discorso che pronunciò in occasione del suo insediamento. Pirrami Traversari non mancò di sottolineare l'importanza del ruolo ricoperto dalla Corte dei conti specie se considerato in rapporto alla Costituzione. «Il controllo» – disse – «deve seguire l'evolversi degli ordinamenti, sempre inteso, però, a sanzionare e segnalare violazioni e deviazioni e dalle norme e dai principi di conformità al diritto, nonché quelli di efficienza, utilità ed economicità dell'azione amministrativa»; infatti «compito primario della Corte, così voluto dalla Carta Costituzionale ed essenziale alla stabilità degli ordinamenti, è quello di garantire, nell'interesse pubblico, la conformità a legge del comportamento della pubblica amministrazione». Suo, inoltre, fu l'auspicio di una riforma del sistema di controllo sia sulla gestione dello Stato che su quella degli Enti sovvenzionati i cui risultati, in base al dettato dell'art. 100 della Costituzione, vanno riferiti dalla Corte direttamente al Parlamento. «Una meditata riforma del sistema di controllo», come egli stesso ebbe a dire, che potesse «consentire un arricchimento di contenuti ed una migliore articolazione con significative ed obiettive notazioni sui difetti di efficienza e sui comportamenti omissivi dell'organizzazione amministrativa, sul grado di economicità o meno dei settori di attività indagate, sugli aspetti che ne propongono una riconsiderazione in termini di rapporto tra benefici derivatine e loro costi». Al fine di poter accrescere l'utilità di questi referti, volontà di Pirrami Traversari fu quella di «porre allo studio la possibilità di accompagnare ad essi compendi, sintesi o stralci per materie, tali da fornire una pronta identificazione dei temi di interesse a quanti [dovessero] consultarli». Altro aspetto tenuto in debita considerazione dal Presidente nel proprio discorso fu quello della «riconsiderazione del sistema dei controlli sull'azione amministrativa di spesa delle Regioni», necessaria per non rendere parziali e vani i dati e le valutazioni offerte dalla Corte al Parlamento; aspetto, questo, ancor più delicato se si tiene in considerazione il fatto che Pirrami Traversari riteneva come sempre più limitata la possibilità di fornire un quadro ragionato ed imparziale della finanza e della gestione delle Regioni che andavano assumendo dimensioni sempre più cospicue. La Corte, dunque, non poté non accogliere con soddisfazione l'intenzione dell'allora presidente del Consiglio, manifestata al momento di presentare il Governo alle Camere, di porre anche le Regioni a statuto ordinario sotto il controllo della Corte attraverso l'istituzione di apposite Sezioni speciali decentrate. In tal modo, disse Pirrami Traversari, «il controllo verrebbe separato dai compiti di coordinamento assegnati dall'art. 124 della Costituzione al Commissario del Governo, impegnato in questa delicata funzione di amministrazione in posizione sovraordinata». Fu pertanto posta come prioritaria «l'istituzione di Sezioni giurisdizionali su base regionale». Altra delicata questione, come affermò il neo Presidente, fu quella relativa alla giurisdizione contenziosa in materia di pensioni civili, militari e di guerra, controversie che allora raggiungevano la ragguardevole cifra di seicentomila unità. A conclusione del proprio discorso, quasi a volerne ancor più sottolineare l'importanza ai fini di un retto svolgimento della propria attività, Pirrami Traversari pose l'indipendenza come l'elemento che «solo può concorrere all'esercizio più perfetto ed efficiente delle funzioni della Corte e giammai potrà risolversi in pregiudizio dell'adempimento del dovere giacché è certo [...] che indipendenti noi siamo per il dovere, non dal dovere». Fu collocato a riposo a decorrere dal 4 aprile 1986 per raggiunti i limiti di età.
Pirrami Traversari fece parte del Collegio sindacale dell'Azienda tabacchi italiani (1961), del Collegio dei revisori dell'Istituto nazionale gestione imposte di consumo (1969-1972) e del Consiglio di amministrazione dell'Azienda minerali metallici italiani. Tra i suoi scritti menzioniamo La funzione di coordinamento: problema di fondo negli attuali orientamenti dell'organizzazione amministrativa dello Stato, e La buona amministrazione: tecniche e controlli ambedue pubblicati in «Prospettive nel mondo» rispettivamente negli anni 1981 e 1983. Suo inoltre l'intervento dal titolo Stato pluriclasse e riordino dell'amministrazione, comparso in Le istituzioni della democrazia pluralista. Convegno nazionale della Democrazia Cristiana, Roma 21-23 aprile 1983 (Roma 1984). Fra la onorificienze conferitegli nel corso della propria carriera, infine, annoveriamo quelle di grande ufficiale della Repubblica d'Italia (giugno 1959) e cavaliere di gran croce della Corona d'Italia (febbraio 1976).
Morì a Roma il 19 settembre 1996.